质点运动学

圆周运动

角度 - 角速度 - 角加速度：$\theta -\omega -\alpha$

• 切线加速度 $a_{t}=\alpha r$（角加速度 × 半径）
• 法线加速度 $a_{n}=\omega^{2}r$（角速度的方 × 半径）

运动建模及其方程

大部分的模型方程都是基于三角形的勾股定理

牛顿定律及常见力

没什么好记的

转动惯量和力矩

转动惯量和动能的关系：$E_{k}=\dfrac{1}{2}J\omega ^{2}$

转动惯量与角动量：$L=J\omega$

转动惯量结论

• 质点（微元）、绕中心旋转的薄圆环：$J=mR^{2}$（各质元到轴的垂直距离都相同）
• 绕中心旋转的圆盘（柱）：$J=\dfrac{1}{2}mR^{2}$
• 棒子绕一端转：$J=\dfrac{1}{3}mL^{2}$
• 棒子绕中心：$J=\dfrac{1}{12}mL^{2}$

转动惯量计算（微元法）

• 例1：设转轴在棒的一端且与棒垂直，棒长为 $L$ ，求转动惯量 $J$

  解：在棒上离轴 $x$ 处，取长度元 $dx$，单位长度质量为 $\lambda$，则

  $dJ=dm\cdot x^{2}=x^{2}\lambda dx$

  $J=\int _{0}^{L}\lambda x^{2}dx=\dfrac{\lambda L^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}mL^{2}$

• 例2：转轴移到中点？（原点在中间，从一端积分到另一端，所以是 $-\dfrac{L}{2}$ 到 $\dfrac{L}{2}$）

  $J_{2}=\int ^{\dfrac{L}{2}}_{-\dfrac{L}{2}}\lambda x^{2}dx=\dfrac{\lambda L^{3}}{12}=\dfrac{1}{12}mL^{2}$

• 例3：求质量为 $m$，密度为 $\rho $，半径为 $R$，厚度为 $h$的均质圆盘的转动惯量（转轴在中心且垂直）

  解：将圆盘看成是很多垂直薄圆环（$V_{0}$）组成

  $dJ=dm\cdot r^{2}=r^{2}\cdot \rho \cdot V_{0}$

  又因为 $V_{0}=h\cdot S=h\cdot 2\pi r\cdot dr$

  $J=\int _{0}^{R}r^{2}\cdot \rho\cdot h\cdot 2\pi r\cdot dr=\dfrac{1}{2}\pi R^{4}h\cdot \rho$

  又因为 $m=\rho V$

  $J=\dfrac{1}{2}mR^{2}$

（计算中可以随便设未知量，最后一般都可以消掉）

平行轴定理

把转轴由质心轴平移 $d$ ，新的转动惯量为 $J=J_{0}+md^{2}$

• 例：把圆柱的转轴移到边上

  绕质心：$J_{c}=\dfrac{1}{2}mR^{2}$

  绕边缘：$J_{z}=J_{c}+mR^{2}= \dfrac{3}{2}mR^{2}$

垂直轴定理

若我们要求一个刚体薄片关于一条与其垂直的轴的转动惯量 $J_{z}$ ，则可以在薄片上取两个互相垂直且与垂直轴相交的轴并分别计算薄片关于这两条轴的转动惯量 $J_{x}$ 和 $J_{y}$，有 $J_{z}=J_{x}+J_{y}$

伸展定理

如果将一个物体的任何一点，平行地沿着一支直轴作任意大小的位移，则此物体对此轴的转动惯量不变

力矩

$M=FR$（用手拨动转盘产生力矩）

$M=J\alpha$（力矩与转动惯量与角加速度的关系，用 $F=ma$ 理解）

两边同时对时间积分：$\int ma\cdot Rdt=\int J\alpha dt\Rightarrow mvR=J\omega$（小虫一瞬间跳走）

• 例1：定滑轮两边用 $F_{1}$ 、$F_{2}$ 两个力拉，求滑轮的切线加速度

  $$ \begin{cases}J=\dfrac{1}{2}mR^{2}\ M=F_{2}R-F_{1}R\ M=J\alpha \end{cases} $$

  $\Rightarrow \alpha =\dfrac{F_{2}R-F_{1}R}{\dfrac{1}{2}mR^{2}}$

  $a_{t}=\alpha R=\dfrac{2F_{2}R-2F_{1}R}{mR^{2}}=\dfrac{2F_{2}-2F_{1}}{mR}$

• 例2：定滑轮两边挂着 $m_{1}$ 、$m_{2}$ 两个物块，求释放后物块加速度

  $$ \begin{cases}T_{1}-m_{1}g=m_{1}a_{t}\ m_{2}g-T_{2}=m_{2}a_{t}\ M=\left( T_{2}-T_{1}\right) R=J\alpha \ J=\dfrac{1}{2}mR^{2}\ a_{t}=R\alpha \end{cases} $$

电场强度

点电荷电场强度

$\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\dfrac{q}{r^{2}}$

积分类电场强度（微元法）

• 例1：无限长带电直线，单位长度带电量为 $\eta $

  取线元 $dx$ ，带电 $dq=\eta dx$

  $dE=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\dfrac{\eta dx}{r^{2}}$

  将 $dE$ 投影到两个坐标轴上

  $$ \begin{cases}dE_{x}=dE\cos \theta \ dEy=dE\sin\theta \end{cases} $$

  把 $x$ 和 $r$ 都换成用 $\theta$ 和 $R$ 表示

  $$ \begin{cases}\dfrac{R}{x}=\tan \left( \pi -\theta \right) \ r^{2}=R^{2}+x^{2}\end{cases} $$

  然后从 $0$ 到 $\pi$ 积分

  $$ \begin{cases}E_{x}=0\ E_{y}=\dfrac{\eta }{2\pi \varepsilon _{0}R}\end{cases} $$

核心词汇